這題跟前面幾篇無人機蜂群系列不一樣，是一個純軌道力學計算題，用 nc 連上一個互動式的 shell，題目會即時報數字給你，要在限定次數內把兩個答案送回去。內容本身其實是一道扎實的物理計算題，但真正讓我印象深刻的，是我後來重連一個新的實例時，蠢到把上一輪的答案複製貼上，就一直連續錯了四次

題目在講什麼

An unknown aggressor satellite has been detected in a higher orbit and is threatening critical space infrastructure. Your mission: calculate a Hohmann transfer to intercept it.

翻成白話：偵測到一顆敵方衛星在比我方更高的軌道上，正在威脅重要太空基礎設施。任務是算出一個 Hohmann transfer（霍曼轉移軌道），攔截它。連上題目給的 shell 之後，畫面會告訴你三件事：自己所在圓形軌道的半徑跟速度、目標衛星所在圓形軌道的半徑跟速度、還有你們兩個目前的相位角（phase angle，簡單說就是兩顆衛星目前繞地球的角度差，題目要求要回傳兩個數字：

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delta_v_burn  wait_time

delta_v_burn 是要花多少速度變化量（Δv，單位 m/s）去點火進入轉移軌道；wait_time 是要先等多少秒才點火，才能讓自己跟目標衛星剛好在同一時間抵達會合點。誤差容許範圍是 Δv ±10 m/s、等待時間 ±60 秒，每條連線只有 5 次提交機會，答錯或連線斷了就要重連拿一組全新的隨機題目

背景知識：什麼是 Hohmann transfer

Hohmann transfer 是航太工程裡最基本、也最省油的軌道轉移方式：如果你在一個低軌道，想換到另一個同心的高軌道，不需要一路加速上去，只要在正確的時間點做兩次點火。

第一次把自己送上一個橢圓形的「轉移軌道」，這個橢圓一端貼著原本的低軌道，另一端剛好貼著目標的高軌道，第二次點火則是在到達高軌道那一端時，把自己「拉直」成新的圓形軌道。

有興趣可以看這個影片：https://youtu.be/KdHI5Fn9Fu8

這題只計分第一次點火（進入轉移軌道那一下），所以問題簡化成：算出第一次點火要花多少 Δv，以及要挑哪個時間點火，才能讓自己跟目標衛星在轉移軌道的另一端準時碰頭。

這其實是個很標準的軌道力學問題，關鍵在兩塊：點火要花多少速度變化量，跟該等多久再點火。

算 Δv：標準 vis-viva 方程式

轉移橢圓的半長軸（transfer ellipse semi-major axis）就是自己軌道半徑跟目標軌道半徑的平均：

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a_t  = (r1 + r2) / 2

用 vis-viva 方程式（描述橢圓軌道上任一點速度跟半徑關係的公式）算出轉移軌道在起點（也就是自己目前所在半徑 r1）的速度：

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v_p  = sqrt(mu * (2/r1 - 1/a_t))
Δv1  = v_p - v1

這裡有個小訣竅：mu（重力參數，等於地球質量乘上重力常數）不要用課本上的標準地球值 398600.4418 km³/s² 去代，而是直接從題目自己印出來的圓軌道速度反推：

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mu = v1**2 * r1   # 自洽的重力參數，直接從自己的圓軌道速度反推，不假設任何課本常數

因為在圓形軌道上，重力提供的向心力剛好等於 v² / r = mu / r²，兩邊消一消就是 mu = v² * r。這樣算出來的 Δv，跟伺服器內部算出來的正確答案幾乎完全吻合（誤差在 0.001 m/s 等級），完全不用擔心題目背後用的地球半徑或 GM 常數跟課本定義是否一致。

算等待時間：真正卡住的地方

轉移軌道走完一半橢圓（從起點飛到會合點）需要的時間：

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t_transfer = π * sqrt(a_t³ / mu)

古典的 Hohmann 交會相位理論是這樣：假設自己在內側、速度較快的軌道（角速度 n1 = v1/r1），目標在外側、速度較慢的軌道（角速度 n2 = v2/r2），要讓兩者剛好在轉移橢圓的另一端（180 度外）相遇，點火那一刻目標必須領先自己一個特定角度：

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φ_required = π − n2 · t_transfer

（直覺理解：轉移過程中，自己會掃過整整 180 度，而目標只會前進 n2 · t_transfer 這麼多角度，所以目標得先領先這麼多，才能讓兩者同時抵達。）

問題來了：拿到題目印出來的目前相位角 φ0 之後，等待時間該怎麼從 φ0 跟 φ_required 的差推出來？照課本直覺寫的公式：

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t_wait = [(φ0 − φ_required) mod 2π] / (n1 − n2)

但這個公式是錯的 第一次照這個公式送出 Δv=160.73, wait_time=16997.80，結果 Δv 被接受，但 wait time 被判定錯誤（Wait time error too large

這個部分被拒絕的訊息其實是個很精準的診斷，因為代表轉移軌道本身的物理算式（a_t、v_p、t_transfer）完全沒問題，唯一有問題的是相位角的方向定義

既然只有 wait time 被打回票，問題就一定出在題目給的 phase angle 到底怎麼對應到公式裡的 φ0，而不是轉移軌道力學本身，如果把減法的順序反過來，也就是改成 「φ0 還要往另一個方向繞多少角度才能到達 φ_required」 就得到跟伺服器真正吻合的公式：

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t_wait = ((phi_required - phase0) % (2*math.pi)) / (n1 - n2)

完整驗證：

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import math
r1, r2 = 6938.585e3, 7403.771e3
v1, v2 = 7579.269, 7337.300
phase0 = math.radians(212.256)

n1, n2 = v1/r1, v2/r2
mu = v1**2 * r1
a_t = (r1 + r2) / 2
vp = math.sqrt(mu * (2/r1 - 1/a_t))
dv1 = vp - v1
t_transfer = math.pi * math.sqrt(a_t**3 / mu)
phi_required = math.pi - n2 * t_transfer

t_wait = ((phi_required - phase0) % (2*math.pi)) / (n1 - n2)
print(dv1, t_wait)
# 121.934  26901.33   <- 伺服器自己算出來的答案：121.934 m/s / 26901.426 s

送出 121.935 26900.962：

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Submitted delta-v: 121.935 m/s   Required: 121.934 m/s   Error: 0.001 m/s
Submitted wait time: 26900.962 s  Required: 26901.426 s   Error: 0.464 s

INTERCEPT SUCCESS!
STARPWN{h0hm4nn_tr4nsf3r_1nt3rc3pt}

以上是最初那版Time to Intercept的完整解法。
後來題目重開了一個 V2 版本，同樣的服務、同樣的評分方式，只是換了個 port，照理說公式直接照搬就能用，實際上也的確如此，但是真正有趣的是接下來發生的事

V2：同一套公式，卻因為手滑連錯四次

V2 的題目描述、格式、誤差範圍完全跟 V1 一樣，唯一差別是題目重新給了一組全新的隨機參數。連上新的實例，畫面印出：

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YOUR SATELLITE: DEFENDER-1
  Orbital Radius: 6900.768 km
  Orbital Velocity: 7600.008 m/s

TARGET SATELLITE: AGGRESSOR-X
  Orbital Radius: 7167.955 km
  Orbital Velocity: 7457.017 m/s

CURRENT GEOMETRY:
  Phase Angle: 81.624 degrees

問題是，我在連上這個全新instance之前，才剛結束另一條連線（那條連線的參數是 r1=6850.870 km、r2=7534.987 km、phase=199.425°，算出來的 Δv 是 179.259）連上新的這條之後，前四次提交我只顧著調整 wait time，Δv 卻一直沿用上一條連線算出來的 179.26：

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第 1 次：179.26  22068.88   -> 兩個都錯
第 2 次：179.26  17492.12   -> 兩個都錯
第 3 次：179.26  20347.45   -> 兩個都錯
第 4 次：179.26  20353.73   -> 兩個都錯

每次回應都是 Delta-v error too large
這其實已經是伺服器在明示：問題出在 Δv 本身要重算，而不是 wait time 猜得不夠準，每條連線的題目參數是固定的（同一條連線的 5 次機會共用同一組 r1/r2/v1/v2/phase），但不同連線之間的參數完全不共用。 把上一條連線算對的 Δv 直接複製貼到新連線，數字看起來很眼熟，卻已經是過期的答案

回頭用新連線印出來的參數重新算一次：

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r1, r2 = 6900.768e3, 7167.955e3
v1, v2 = 7600.008, 7457.017
phase0 = math.radians(81.624)
# 套用同一套公式
# dv1    = 71.829
# t_wait = 81080.728

第五次、也是最後一次機會：

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> 71.829 81080.728

Here is your flag: STARPWN{dont_print_th3_answer_}

總之這題偷懶沿用上一輪的答案

Flag

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STARPWN{h0hm4nn_tr4nsf3r_1nt3rc3pt}      <- V1
STARPWN{dont_print_th3_answer_}          <- V2

心得

  1. 算重力參數不要相信課本常數，直接從題目給的數字反推。 圓形軌道上 mu = v² · r 這個關係式永遠成立，用它反推出來的 mu 自動跟題目內部用的地球模型一致，不用猜測題目作者到底是用哪一版的地球半徑或 GM 常數。
  2. 伺服器的「部分正確」回應是很精準的除錯資訊。 只有 wait time 被判錯、Δv 卻悄悄通過，這代表轉移軌道本身的物理算式（半長軸、vis-viva、轉移時間）已經確認沒問題，問題精確縮小到相位角的方向定義上，不需要重新懷疑整個算法。
  3. 相位角的正負號慣例，是這類交會問題最常見的陷阱。 課本公式假設了某種特定的角度量測方向跟基準，題目給的「裸的」相位角數字如果沒說清楚定義方式，就要有心理準備去試試看方向相反的版本——兩者恰好差了一個會合週期，一個算錯了通常下一步就是換方向試另一個。
  4. 同一題的「V2」不代表數字也一樣。 就算是同一套程式碼、同一種公式，只要是每次連線都重新隨機出題的服務，舊連線算出來的正確答案在新連線裡就是過期資料——而且伺服器通常會老實告訴你「哪一項錯了」，這個訊號比自己盲猜要可靠得多，該做的是回頭用當下畫面印出來的數字整組重算，而不是只調整自己正在盯著看的那個數字。